Benoit Mandelbrot est un mathématicien né en 1924 à Varsovie. Il s’est intéressé aux théories de l’information et a découvert une loi qui porte aujourd’hui son nom. Après avoir rejoint les Etats-Unis, il devint chercheur chez IBM, où il se pencha sur la transmission optimale dans les milieux bruités. C’est en 1973 qu’il publia son article « Formes nouvelles du hasard dans les sciences », dans lequel il présente des cas limites, où la statistique classique ne semble plus s’appliquer, et en conclut qu’il n’existe pas une unique loi du hasard. A partir de là, il a développé sa théorie fractale, telle qu’il la décrit dans son ouvrage de 1974 : Les objets fractals - Forme, hasard et dimension. Il a reçu en récompense de ses travaux sur les fractales un Emeritus Fellowship au laboratoire de recherche T. J. Watson, a été lauréat de la médaille Franklin en 1986 et est devenu professeur à Yale en 1987. Décoré chevalier de la légion d’honneur en 1990, il a été promu officier en 2006.
Benoit Mandelbrot a été le premier à remettre en cause la modélisation brownienne des risques. Il a été l’instigateur de plusieurs modèles alternatifs depuis les années 60, et son dernier modèle, très complet, permet d’obtenir des fluctuations des cours sauvages ainsi que des queues épaisses suivant une loi d’échelle, une mémoire longue et des persistances des mouvements. Ses propositions sont bien connues, bien que peu implantées dans les marchés.

Son apport à la théorie mathématique en finance est notable. Il est l’instigateur de plusieurs modèles alternatifs de modélisation des cours de Bourse, dont le premier date de 1961. Trop complexe, il a été longtemps délaissé, pour être remis au goût du jour dans la période riche en crises des années 1990. Son ouvrage « Une approche fractale des marchés », publié en 2004 dénonce les théories développées par Black, Scholes et Merton. Cependant, si B. Mandelbrot défend l’idée qu’il se peut parfois que l’utilisation de théorèmes aux hypothèses fausses donne pour les praticiens des résultats corrects, il propose des alternatives à cette approximation. Il défend l’importance des formules de Black Scholes comme des étalons pour la finance, bien que dans la pratique, personne ne les applique plus.

Outils et concepts 

Ses modèles reposent alors sur plusieurs propriétés mathématiques. Son premier modèle, le M 1963, proposait que les revenus suivent une loi de Pareto-Lévy (La distribution en question est alors qualifiée de L-stable, stable parétienne ou encore Lévy.). Pour justifier ses choix et appuyer ses critiques, B. Mandelbrot utilise beaucoup les images, ce dont il se revendique. Ainsi, son utilisation massive des données et des statistiques s’appuie sur cette perception première, par les courbes et les graphes, des tendances et donc des modèles qui pourraient s’en approcher.
Il met donc à contribution son outil de prédilection, les fractales, pour modéliser les courbes de cours, montrant la meilleure approximation qu’elles permettent par rapport à la méthode classique, brownienne, de modélisation. Or ces fractales s’appuient sur quelques outils principaux des fractales : 1° le principe d’échelle, qui postule que deux quantités mesurables X et Y sont liées par une loi d’échelle s’il existe un exposant ε tel que X=Yε, soit log (X)/log(Y)=constante. Pour Mandelbrot, il est important de souligner les invariances d’échelle.
2° Le concept d’autosimilarité linéaire : un objet est alors invariant par une famille de réductions, ou encore invariant par dilatation.

Il oppose ensuite au hasard « bénin » du mouvement brownien un autre hasard, sauvage, des bourses. Car si dans le long terme, tout peut paraître lent, l’échelle de court terme tend à favoriser le hasard sauvage. Pour lui, on peut remarquer deux symptômes de l’échec de l’hypothèse du hasard bénin : la rencontre de très grands écarts à la « norme » et la rencontre de suites de valeurs, qui, bien que ne faisant que de petits écarts, le fait de manière persistance de sorte que l’écart final d’avec la « norme » est considérable.
Un autre outil nécessaire à sa théorie des marchés est la distribution L-stables. En général, les distributions L-stables ont une propriété : leur comportement asymptotique est approximativement scalant. Cette distribution permet donc d’obtenir des queues de distribution plus larges et de mieux modéliser les grands écarts à la norme.

Modèles alternatifs :

Ces idées lui ont permis de créer différents modèles au cours du temps. Le premier, qui date de 1963, repose sur une idée principale : les changements de prix sont L-stables et indépendants. La finance est alors non gaussienne : la courbe en cloche couvrant 96% des cas à peu près correctement, elle néglige pour lui les queues de distribution ; or, pour Mandelbrot, cela revient à se priver d’une information considérable. De plus, les courbes supposées imposent la continuité, ce que l’on n’observe pas selon lui dans la réalité. Ainsi, il postule que si les prix sont discontinus, alors les queues sont de facto épaissies : les deux symptômes sont liés. Selon Mandelbrot, dans les prix, même après une agrégation puissante, l’importance des sauts n’est toujours pas négligeable.

Puis son modèle de 1965 a introduit une nouvelle notion : le rôle du très long terme. Tout d’abord, il part de l’observation de phénomènes cycliques non périodiques. Il s’appuie ensuite sur les travaux de Hurst et sur sa statistique et en déduit donc une pente H de la droite formée le long de l’entrelacement de courbes, qui varient selon les données. Or l’inégalité H>0,5 exclut la possibilité que les X soient gaussiens et indépendants. De plus, lorsque X est L-stable d’exposant α, alors H=1/ α. Or de telles propriétés impliquent selon Mandelbrot une forme de corrélation nouvelle. Dans ce cadre ; il construit une classe de processus gaussiens baptisés « bruits fractionnaires » qui laissent H arbitraire entre 0 et 1. Mandelbrot a fini par attribuer le phénomène de Hurst au fait que la quantité a une qualité d’invariance de type « auto-affinité ». Lorsqu’ils sont gaussiens, on les baptise alors « mouvements browniens fractionnaires ».Les X correspondants sont des processus stationnaire. Ils ont alors un seul paramètre : H. Celui-ci mesure la dépendance à long terme et la tendance à manifester des cycles. Dans les cas d’un bruit fractionnaire avec H autre que 0,5, la corrélation entre les valeurs passées et les valeurs futures est non nulle. Plus H est loin de 0,5, plus cette corrélation s’éloigne de 0. Ainsi, il remet en cause avec le calcul du H l’efficience des marchés supposée, car si le marché est efficient avec un arbitrage quasi parfait, H=0,5. Plus H-0,5 est grand, plus le marché est imparfait.

Enfin, un troisième modèle, qui s’inspire du modèle de 1972 est le brownien fractionnaire en temps boursier multifractal de 1997. Ce modèle combine les deux effets précédents. Alors que dans le modèle de Bachelier, dP~(dt)1/2, avec dP le changement de prix et dt l’intervalle de temps, Mandelbrot avait déjà introduit dans les modèles de 1963 et 1965 l’hypothèse que dP~(dt)H . Dans tous les cas, le coefficient prenait une valeur unique, pour tout t. On les qualifiait alors de modèles unifractals. Au contraire, le modèle 1972 impliquait que dP~(dt)H(t) ; H(t) prend alors des valeurs multiples et le modèle est qualifié de multifractal. Une grande valeur de H implique alors une variation lente tandis qu’une petite valeur indique une variation rapide. Il a alors par ce mécanisme crée un temps boursier distinct du temps de l’horloge. Le processus suivi en temps boursier est alors le mouvement brownien, ordinaire ou fractionnaire. Pour générer les prix en temps boursier, Mandelbrot couple un  « père » qui transforme le temps de l’horloge en temps boursier à une « mère » qui transforme le temps de l’horloge en prix. Le fils issu de la combinaison prend le temps boursier et le transforme en prix. Ce modèle permet d’obtenir des fluctuations des cours sauvages ainsi que des queues épaisses, la mémoire longue, les persistances et la loi d’échelle.